Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 julio (convocatoria DANA) resuelto

Definimos los sucesos:

• $B$ = «las condiciones meteorológicas son buenas» y $\overline{B}$ = «las condiciones meteorológicas son malas».
• $A$ = «el vuelo llega puntual», $R_1$ = «el vuelo llega con un retraso de hasta tres horas» y $R_2$ = «el vuelo llega con más de tres horas de retraso».

Los datos del enunciado son

Los tres grupos de vuelos son incompatibles y cubren todos los casos, así que en cada rama las tres probabilidades suman 1.

El enunciado dice que el 90 % de los días hace buen tiempo. Suponemos que la proporción de vuelos que llegan con buen tiempo es la misma, de modo que $P(B)=0{,}9$.

El diagrama de árbol es:

• $B$ ($0{,}9$):
  • $A$ ($0{,}7$): $0{,}9\cdot 0{,}7 = 0{,}63$
  • $R_1$ ($0{,}2$): $0{,}9\cdot 0{,}2 = 0{,}18$
  • $R_2$ ($0{,}1$): $0{,}9\cdot 0{,}1 = 0{,}09$
• $\overline{B}$ ($0{,}1$):
  • $A$ ($0{,}4$): $0{,}1\cdot 0{,}4 = 0{,}04$
  • $R_1$ ($0{,}3$): $0{,}1\cdot 0{,}3 = 0{,}03$
  • $R_2$ ($0{,}3$): $0{,}1\cdot 0{,}3 = 0{,}03$

Comprobación: $0{,}63 + 0{,}18 + 0{,}09 + 0{,}04 + 0{,}03 + 0{,}03 = 1$.

1.1) Probabilidad de que un vuelo llegue con más de 3 horas de retraso

$\{B, \overline{B}\}$ es un sistema completo de sucesos, así que por el teorema de la probabilidad total:

1.2) Probabilidad de que el tiempo fuera malo sabiendo que el vuelo fue puntual

Nos piden $P(\overline{B}\mid A)$. Primero, por el teorema de la probabilidad total,

Por el teorema de Bayes:

1.3) Probabilidad de enlazar en los 12 viajes del año

El pasajero enlaza si su primer vuelo llega con 3 horas o menos de retraso, es decir, si no ocurre $R_2$. Como viaja siempre con buen tiempo, en cada viaje la probabilidad de enlazar es

(equivalentemente, $P(A\mid B) + P(R_1\mid B) = 0{,}7 + 0{,}2 = 0{,}9$).

Hace un viaje al mes durante un año: 12 viajes. Suponemos que lo que ocurre en un viaje no influye en los demás (viajes independientes); el enunciado no lo dice, pero es lo habitual. Sea $X$ = «número de viajes, de los 12, en que el pasajero consigue enlazar». Es un experimento con dos resultados (enlaza o no enlaza), repetido 12 veces de forma independiente, con probabilidad de éxito $0{,}9$ en cada viaje. Por tanto,

Nos piden que enlace en todos los viajes, $P(X = 12)$. Como los viajes son independientes, basta multiplicar las 12 probabilidades de enlazar, todas iguales a $0{,}9$:

2.1.1) Valores de $m$ para los que $D$ tiene inversa

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|D|$ por la regla de Sarrus:

Igualamos a cero: $-(m^2+1)=0 \iff m^2=-1$, que no tiene solución real. Como $m^2+1\ge 1>0$ para todo $m\in\mathbb{R}$, se cumple $|D|\neq 0$ siempre.

2.1.2) Matrices $EF$ y $(FE)^t$

$E$ es de dimensión $1\times 3$ y $F$ de dimensión $3\times 1$.

• $EF$: el número de columnas de $E$ (3) coincide con el de filas de $F$ (3), luego el producto existe y es de dimensión $1\times 1$:

• $FE$: el número de columnas de $F$ (1) coincide con el de filas de $E$ (1), luego existe y es de dimensión $3\times 3$:

Su traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

2.1.3) Ecuación $\frac12 X + D = D^{-1}$ para $m=0$

Despeje de $X$. Restamos $D$ en ambos miembros y multiplicamos por $2$:

Por el apartado 2.1.1, $D^{-1}$ existe para $m=0$. Para $m=0$:

Cálculo de $D^{-1}$ por adjuntos, $D^{-1}=\dfrac{1}{|D|}\,(\operatorname{Adj} D)^t$:

Comprobación: $D\,D^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$.

Cálculo de $X$:

Comprobación: $\frac12 X + D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 0\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}=D^{-1}$.

2.2.1) Rango de $A$ según $m$

$A$ es una matriz cuadrada de orden 3, así que $\operatorname{rg}A\le 3$, y $\operatorname{rg}A=3$ si y solo si $|A|\neq 0$. Calculamos el determinante desarrollando por la 2.ª fila, que tiene un $0$ en la primera posición (también vale la regla de Sarrus):

Igualamos a cero:

Es decir, $|A|=-(m-2)(2m+3)$.

• Si $m\neq 2$ y $m\neq -\frac32$: $|A|\neq 0$, luego $\operatorname{rg}A=3$.
• Si $m=2$ o $m=-\frac32$: $|A|=0$, luego $\operatorname{rg}A<3$. Pero $A$ contiene el menor de orden 2 formado por las filas 1.ª y 2.ª y las columnas 1.ª y 2.ª, que no depende de $m$ (sirve, por tanto, para los dos valores a la vez):

Por este menor, $\operatorname{rg}A\ge 2$, y como $|A|=0$, $\operatorname{rg}A\le 2$; luego $\operatorname{rg}A=2$.

Comprobación (opcional). Para $m=2$, $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ y la 3.ª fila es la suma de las dos primeras ($F_3=F_1+F_2$). Para $m=-\frac32$, $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -\frac12\\ 0 & 1 & -\frac32\\ -\frac52 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ y $F_3=-\frac52F_1-\frac52F_2$, porque $-\frac52(1,-1,-\frac12)-\frac52(0,1,-\frac32)=\left(-\frac52,\ \frac52-\frac52,\ \frac54+\frac{15}4\right)=\left(-\frac52,0,5\right)$. En ambos casos hay solo dos filas independientes.

2.2.2) Inversa de $\frac16A$ para $m=0$

Para $m=0$:

Como $|A|\neq 0$, $A$ es invertible y, por tanto, también lo es $\frac16A$ (tiene inversa). Además, para un número $k\neq0$ se cumple $(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}$, ya que $(kA)\left(\frac1kA^{-1}\right)=I$. Con $k=\frac16$, $\frac1k=6$, y por tanto

Adjuntos de $A$:

Así, $A^{-1}=\dfrac16\begin{pmatrix} 5 & 5 & -1\\ 0 & 6 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y

Que salgan números enteros no es casualidad: como $|A|=6$, el $6$ de $6A^{-1}$ se cancela con el $\frac16$ de $A^{-1}=\frac16(\operatorname{Adj}A)^t$ y queda justo $(\operatorname{Adj}A)^t$.

Comprobación:

3.1.1) Posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$ según $a$

Dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ forman un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^*$ a la matriz ampliada:

Por el teorema de Rouché-Frobenius:

• $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M^*=1$: los planos coinciden.
• $\operatorname{rg}M=1$ y $\operatorname{rg}M^*=2$: los planos son paralelos no coincidentes.
• $\operatorname{rg}M=2$ (y entonces también $\operatorname{rg}M^*=2$): los planos se cortan en una recta.

Rango de $M$. Calculamos sus menores de orden 2:

Los tres menores se anulan a la vez solo si $(a+1)(a-2)=0$, es decir, para $a=-1$ o $a=2$. Como la primera columna de $M$ empieza por $2\neq0$, el rango nunca es 0. Por tanto:

• Si $a\neq-1$ y $a\neq2$: $\operatorname{rg}M=2$ y los planos se cortan en una recta.
• Si $a=-1$ o $a=2$: $\operatorname{rg}M=1$. Hay que estudiar $M^*$ en cada caso.

Caso $a=-1$. Los planos son $\pi_1: 2x-y+z=-2$ y $\pi_2: -2x+y-z=-1$. En $M^*$ tomamos el menor formado por la primera columna y la de términos independientes:

Los planos son paralelos no coincidentes. Se ve también directamente: multiplicando $\pi_2$ por $-1$ queda $2x-y+z=1$, con los mismos coeficientes que $\pi_1$ pero otro término independiente ($1\neq-2$).

Caso $a=2$. Los planos son $\pi_1: 2x-4y-2z=1$ y $\pi_2: x-2y-z=2$. El mismo menor vale

También son paralelos no coincidentes: multiplicando $\pi_2$ por 2 queda $2x-4y-2z=4$, y $4\neq1$.

Así, los planos no coinciden para ningún valor de $a$.

3.1.2) Ángulo entre $\pi_1$ y $\pi_2$ para $a=0$

Para $a=0$ los planos son

con vectores normales $\vec n_1=(2,0,0)$ y $\vec n_2=(-1,0,-1)$. Según el apartado anterior, para $a=0$ los planos se cortan, así que forman un ángulo distinto de $0$.

El ángulo $\alpha$ entre dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales:

Por tanto $\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt2}{2}=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$ rad.

3.1.3) Distancia de $P=(1,0,-1)$ a $\pi_1$ para $a=0$

Para $a=0$, $\pi_1: 2x+1=0$, es decir, $2x+0y+0z+1=0$. La distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es

Con $P=(1,0,-1)$:

Comprobación. El plano $\pi_1$ es $x=-\frac12$, paralelo al plano $YZ$. La distancia de $P$ a ese plano es la diferencia de las coordenadas $x$: $\left|1-\left(-\frac12\right)\right|=\frac32$.

Empezamos extrayendo los elementos de $\pi$ y de $r$, que se usan en los dos apartados.

• Vector normal de $\pi$: $\vec n_\pi=(2,1,0)$.
• Recta $r$: pasa por $P_r=(1,-1,1)$ (valor $\alpha=0$) y tiene vector director $\vec v_r=(1,-2,0)$.

3.2.1) Plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$

Llamamos $\sigma$ al plano buscado.

• Como $\sigma$ contiene a $r$, contiene al punto $P_r=(1,-1,1)$ y el vector $\vec v_r=(1,-2,0)$ es paralelo a $\sigma$.
• Como $\sigma$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal $\vec n_\pi=(2,1,0)$ es paralelo a $\sigma$.

Los vectores $\vec v_r$ y $\vec n_\pi$ no son proporcionales ($\tfrac{1}{2}\neq\tfrac{-2}{1}$), así que junto con $P_r$ determinan un único plano. Su ecuación se obtiene con el determinante:

Desarrollando por la tercera columna:

Un vector normal de $\sigma$ es $\vec n_\sigma=(0,0,1)$ (equivalentemente, $\vec v_r\times\vec n_\pi=(0,0,5)$ es proporcional a él).

Comprobación. Los puntos de $r$ son $(1+\alpha,\,-1-2\alpha,\,1)$ y todos cumplen $z=1$, luego $r\subset\sigma$. Además $\vec n_\sigma\cdot\vec n_\pi=(0,0,1)\cdot(2,1,0)=0$, luego $\sigma\perp\pi$.

3.2.2) Plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$

Para que exista un plano paralelo a $\pi$ que contenga a $r$, la recta $r$ tiene que ser paralela a $\pi$ (o estar contenida en él). Lo estudiamos:

así que $\vec v_r$ es perpendicular a $\vec n_\pi$: la recta $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Sustituimos $P_r$ en la ecuación de $\pi$:

luego $P_r\notin\pi$ y $r$ es paralela a $\pi$ y no está contenida en él. Por tanto sí existe el plano pedido, y es único.

Los planos paralelos a $\pi$ tienen el mismo vector normal: $\pi':\ 2x+y+D=0$. Imponemos que pase por $P_r=(1,-1,1)$:

Luego $\pi':\ 2x+y-1=0$.

Comprobación. Para cualquier punto de $r$: $2(1+\alpha)+(-1-2\alpha)-1=0$ para todo $\alpha$, así que $r\subset\pi'$. Además $\pi'$ y $\pi$ tienen vectores normales iguales y términos independientes distintos ($-1\neq-3$), luego son paralelos y distintos.