Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 julio (examen de reserva) resuelto

Completamos la tabla con los totales de cada fila y de cada columna:

Llamamos $E$ = «su tipo de obra preferido son los ensayos», $\mathrm{Po}$ = «su tipo de obra preferido es la poesía», $A$ = «tiene 25 años o más» (filas «25 – 60 años» y «> 60 años») y $M$ = «tiene entre 25 y 60 años». Como se elige una persona al azar entre las 120, usamos la regla de Laplace.

1.1) Probabilidad de que la obra preferida no sea el ensayo

Prefieren los ensayos $10$ de las $120$ personas, así que

Comprobación: los que no prefieren el ensayo son $47 + 35 + 28 = 110$, y $\dfrac{110}{120} = \dfrac{11}{12}$.

1.2) Probabilidad de tener 25 años o más sabiendo que no prefiere la poesía

Nos piden la probabilidad condicionada

Como ya sabemos que la persona no prefiere la poesía, el universo pasa a ser el de las columnas Novela, Teatro y Ensayos:

No prefieren la poesía $120 - 35 = 85$ personas, y de ellas tienen 25 años o más $35 + 25 = 60$. Por tanto

Comprobación: los menores de 25 años de ese grupo son $25$, y $1 - \dfrac{25}{85} = \dfrac{60}{85}$.

1.3) Como mucho 3 de 10 miembros de 25 a 60 años prefieren teatro o ensayos

Entre los $52$ miembros de 25 a 60 años, prefieren teatro o ensayos (sucesos incompatibles: cada persona tiene un único tipo preferido) $10 + 3 = 13$. La probabilidad de que uno de ellos prefiera teatro o ensayos es

Sea $X$ = «número de los 10 miembros que prefieren las obras de teatro o los ensayos». El enunciado habla de 10 miembros cualesquiera de ese grupo y en la PAU se usa el modelo binomial: cada miembro es una prueba con dos resultados (éxito: prefiere teatro o ensayos, con probabilidad $p = 0{,}25$; fracaso, con probabilidad $q = 0{,}75$), y las 10 pruebas se consideran independientes. Entonces

«Como mucho 3» es $X \le 3$:

• $P(X=0) = \binom{10}{0}\,0{,}75^{10} \approx 0{,}0563$
• $P(X=1) = \binom{10}{1}\,0{,}25\cdot 0{,}75^{9} \approx 0{,}1877$
• $P(X=2) = \binom{10}{2}\,0{,}25^{2}\cdot 0{,}75^{8} \approx 0{,}2816$
• $P(X=3) = \binom{10}{3}\,0{,}25^{3}\cdot 0{,}75^{7} \approx 0{,}2503$

Este valor también se lee directamente en la tabla de la binomial que acompaña al examen: $n = 10$, $k = 3$, $p = 0{,}25$ da $F(3) = 0{,}7759$. (El valor exacto es $\dfrac{3^{10} + 10\cdot 3^{9} + 45\cdot 3^{8} + 120\cdot 3^{7}}{4^{10}} = \dfrac{203\,391}{262\,144}$, pero no hace falta darlo.)

2.1.1) Ecuación matricial $2AX=BX+I$

Pasamos al primer miembro los términos con $X$ y sacamos factor común $X$. En los dos términos $X$ está a la derecha, así que la matriz que la multiplica queda a la izquierda:

Calculamos la matriz $2A-B$:

Su determinante es

así que $2A-B$ tiene inversa y la ecuación tiene solución única. Multiplicando por $(2A-B)^{-1}$ por la izquierda en los dos miembros:

Calculamos la inversa con la fórmula $M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^t$, donde $M=2A-B$. Cada adjunto es el menor con el signo $(-1)^{i+j}$: $M_{11}=-2$, $M_{12}=-(-1)=1$, $M_{21}=-(1)=-1$ y $M_{22}=-1$. La matriz de adjuntos y su traspuesta son

luego

Comprobación (con la ecuación original, que valida también el despeje). Por un lado,

Por otro,

Coinciden.

2.1.2) Valores de $\alpha$ con $4A^2+\alpha A-I=0$

Calculamos primero $A^2$, que también servirá para el apartado 2.1.3:

Por tanto $4A^2=I$ y la ecuación queda

Igualando a cero cada elemento: $\dfrac{\alpha}{2}=0$, $\alpha=0$, $0=0$ y $-\dfrac{\alpha}{2}=0$. Todas dan $\alpha=0$ (como $A\neq 0$, no hay otro valor).

Comprobación: con $\alpha=0$, $4A^2-I=4\cdot\frac14 I-I=0$.

2.1.3) Cálculo de $A^{12}$

Del apartado anterior sabemos que $A^2=\dfrac14\,I$. Como $I$ conmuta con cualquier matriz y $I^n=I$,

(También: $A^{12}=\left(\tfrac12\right)^{12}I$, pues $4^6=2^{12}=4096$.)

2.2.1 Discusión del sistema

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si y solo si $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)$; si además ese rango es 3 (el número de incógnitas), es compatible determinado.

Determinante de $A$ (regla de Sarrus):

Así, $|A|=0 \iff a=1$.

Caso 1: $a\neq 1$. Entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(A)=3$. Como $A^*$ tiene solo 3 filas y contiene a $A$, $3=\operatorname{rg}(A)\le\operatorname{rg}(A^*)\le 3$, luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$. Así $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$ (el número de incógnitas): el sistema es compatible determinado.

Caso 2: $a=1$.

• $|A|=0$, y el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 2\end{vmatrix} = 6-2=4\neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A)=2$.
• Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes (desarrollando por la tercera columna):

luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$.

$\operatorname{rg}(A)=2\neq\operatorname{rg}(A^*)=3$: el sistema es incompatible.

2.2.2 Soluciones cuando el sistema es compatible

Por el apartado anterior, el sistema solo es compatible para $a\neq 1$, y entonces es compatible determinado. Como $|A|=6(1-a)\neq 0$, podemos aplicar la regla de Cramer.

Por tanto, para $a\neq 1$:

Comprobación (por ejemplo, con $a=0$): la fórmula da $x=0$, $y=-\tfrac13$, $z=\tfrac23$, y en efecto $3\cdot 0-\tfrac13+2\cdot\tfrac23=1$, $\;0+2\left(-\tfrac13\right)+\tfrac23=0$, $\;0+\tfrac13+\tfrac23=1$, que son los términos independientes $1-a$, $a$, $1-a$ para $a=0$.

Otra comprobación, con $a=2$: la fórmula da $x=1$, $y=\tfrac23$, $z=-\tfrac73$. Las ecuaciones son $3x+y+2z=-1$, $3x+2y+z=2$ y $2x-y+z=-1$, y en efecto $3+\tfrac23-\tfrac{14}3=-1$, $\;3+\tfrac43-\tfrac73=2$, $\;2-\tfrac23-\tfrac73=-1$.

Del plano $\pi\colon 2x-z=1$ leemos su vector normal $\vec{n}_\pi=(2,0,-1)$.

3.1.1) Plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$

Elementos de la recta. Las ecuaciones de $r$ dicen que $y=2x$ y $z=y=2x$. Tomando $x=\lambda$ como parámetro:

así que $r$ pasa por $O=(0,0,0)$ y tiene vector director $\vec{u}=(1,2,2)$. (También sale como producto vectorial de las normales de los dos planos que definen $r$: $(2,-1,0)\times(0,-1,1)=(-1,-2,-2)$, proporcional a $(1,2,2)$.)

¿Existe y es único? Un plano $\sigma$ perpendicular a $\pi$ contiene la dirección $\vec n_\pi$; si además contiene a $r$, contiene la dirección $\vec u$. Como $\vec u=(1,2,2)$ y $\vec n_\pi=(2,0,-1)$ no son proporcionales ($r$ no es perpendicular a $\pi$), los dos vectores determinan, junto con el punto $O$, un único plano. Por tanto el plano pedido existe y es único.

(Si $r$ fuese perpendicular a $\pi$, es decir, $\vec u\parallel\vec n_\pi$, habría infinitos planos solución: todos los que contienen a $r$.)

Cálculo. Un vector normal de $\sigma$ es $\vec u\times\vec n_\pi$:

Cualquier múltiplo no nulo sirve como normal. Tomamos $\vec n_\sigma=(2,-5,4)$ (el anterior cambiado de signo). El plano pasa por $O=(0,0,0)$:

Con un determinante se obtiene el mismo plano, salvo el signo:

Comprobación.

• $\sigma\perp\pi$: $\vec n_\sigma\cdot\vec n_\pi=(2,-5,4)\cdot(2,0,-1)=4+0-4=0$.
• $r\subset\sigma$: el punto $O$ cumple $0=0$ y $\vec n_\sigma\cdot\vec u=(2,-5,4)\cdot(1,2,2)=2-10+8=0$.

3.1.2) Planos paralelos a $\pi$ a distancia 2 de $P=(0,1,2)$

Los planos paralelos a $\pi$ tienen el mismo vector normal $(2,0,-1)$, luego son de la forma

La distancia de $P=(0,1,2)$ a $\pi_D$ es

Imponemos que valga $2$:

Hay, por tanto, dos planos (uno a cada lado de $P$):

Comprobación. Para $\pi_1$: $\dfrac{|-2+2+2\sqrt5|}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt5}=2$; para $\pi_2$: $\dfrac{|-2+2-2\sqrt5|}{\sqrt5}=2$. Ninguno coincide con $\pi$ (que corresponde a $D=-1$), así que ambos son paralelos a $\pi$ y distintos de él.

3.2.1) ¿Está el triángulo $ABC$ contenido en $\pi$?

El triángulo $ABC$ está contenido en el plano $\pi$ si y solo si sus tres vértices lo están (entonces todo el triángulo, que es la envolvente convexa de los vértices, queda dentro del plano). Sustituimos cada vértice en $2x+3y-z$:

• $A=(0,0,0)$: $\;2\cdot 0+3\cdot 0-0=0$. Sí pertenece a $\pi$.
• $B=(10,0,-20)$: $\;2\cdot 10+3\cdot 0-(-20)=20+20=40\neq 0$. No pertenece a $\pi$.
• $C=(0,15,-30)$: $\;2\cdot 0+3\cdot 15-(-30)=45+30=75\neq 0$. No pertenece a $\pi$.

Basta con que un vértice no esté en el plano para que el triángulo no lo esté.

3.2.2) Distancia de $D$ a $\pi$

Con la fórmula de la distancia de un punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+e=0$,

para $D=(1,2,-1)$ y $\pi\equiv 2x+3y-z=0$:

3.2.3) Proyección de $D$ sobre el plano $ABC$

Por el apartado 3.2.1, el plano que determinan $A$, $B$ y $C$ no es $\pi$, así que primero hay que calcularlo.

Plano $ABC$. Vectores directores:

No son proporcionales, luego $A$, $B$ y $C$ no están alineados y determinan un plano. Un vector normal es

Como pasa por $A=(0,0,0)$, el plano es

Comprobación: $B$: $20+0-20=0$; $C$: $0+30-30=0$. ✓

Recta perpendicular a $\sigma$ por $D$. Su vector director es el normal $\vec n_\sigma=(2,2,1)$:

Intersección $r\cap\sigma$. Sustituyendo en $2x+2y+z=0$:

Por tanto la proyección es

Comprobación: $2\left(-\tfrac19\right)+2\cdot\tfrac89-\tfrac{14}{9}=\tfrac{-2+16-14}{9}=0$, luego $D'\in\sigma$; y $\overrightarrow{DD'}=\left(-\tfrac{10}{9},-\tfrac{10}{9},-\tfrac{5}{9}\right)=-\tfrac59\,(2,2,1)$ es perpendicular a $\sigma$. ✓

4.1.1) Dominio, asíntotas y monotonía

Dominio. $f$ es un cociente de polinomios, así que solo falla donde se anula el denominador:

Observamos además que $f(-x)=\dfrac{-x}{9-x^2}=-f(x)$: la función es impar (su gráfica es simétrica respecto del origen).

Asíntotas verticales. En $x=\pm 3$ el numerador no se anula ($\pm 3\neq 0$), luego hay asíntotas verticales. Estudiamos el signo con los límites laterales (para $|x|<3$ es $9-x^2>0$ y para $|x|>3$ es $9-x^2<0$):

Por tanto $x=3$ y $x=-3$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2). Dividimos numerador y denominador entre $x^2$:

así que $y=0$ es asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$. Al haber asíntota horizontal en ambos lados, no hay asíntotas oblicuas.

Monotonía. Derivamos con la regla del cociente:

El numerador $x^2+9>0$ para todo $x$ (no tiene raíces reales) y el denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio. Así, $f'(x)>0$ para todo $x\in\operatorname{Dom} f$: $f$ no tiene puntos críticos ni extremos relativos y es creciente en cada intervalo del dominio.

4.1.2) Gráfica de la curva

Reunimos los datos: corta a los ejes solo en el origen ($f(x)=0\iff x=0$); es impar; signo: $f>0$ en $(-\infty,-3)\cup(0,3)$ y $f<0$ en $(-3,0)\cup(3,+\infty)$; creciente en cada tramo; asíntotas $x=\pm3$, $y=0$. Algunos valores: $f(1)=\tfrac18$, $f(2)=\tfrac25$, $f(4)=-\tfrac47$, $f(6)=-\tfrac{2}{9}$.