Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 junio resuelto

Fuente: Prueba de Acceso a la Universidad. Exámenes y criterios de corrección de cursos anteriores. Generalitat Valenciana, Conselleria de Educación / Universitats (Comissió Gestora de les Proves d'Accés a la Universitat).Página de la fuente.

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Instrucciones del examen

Cada pregunta se puntuará hasta 2,5 puntos. La calificación del examen será la suma de las calificaciones de cada pregunta. La pregunta 1 es obligatoria; en las preguntas 2, 3 y 4: «Responda al apartado X.1 o al apartado X.2». Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Por cada falta de ortografía a partir de la tercera se deducirán 0,10 puntos, hasta un máximo de un punto; por errores de redacción y presentación, hasta medio punto (deducción máxima total: un punto). En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Duración: 90 minutos.

Examen de Matemáticas II de la convocatoria ordinaria (junio) de 2025 en la Comunitat Valenciana, el primero con el nuevo modelo de PAU. Tiene cuatro preguntas de 2,5 puntos: la 1, obligatoria, de probabilidad (distribución binomial); la 2, de álgebra (matriz con parámetro o sistema con parámetro); la 3, de geometría en el espacio (rectas y planos), y la 4, de análisis (un problema de optimización o el área de un recinto con $f(x)=x\,|x-2|$ ). En las tres últimas se elige uno de los dos apartados. El examen incluye una tabla de la distribución binomial.

Ejercicios resueltos

Todos los ejercicios encajan con el modelo de examen de 2026.

Pregunta 1

Probabilidad2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Examen de 2025: es la pregunta de probabilidad (contexto real y binomial).

Enunciado

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)

Una pizzería ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años, utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.

1.1 (0,25 puntos) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?

1.2 (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?

Para mejorar su servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más demanda, minimizando el desperdicio.

1.3 (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?

1.4 (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

Llamamos $M$ , $V$ y $E$ a los sucesos «el cliente pide pizza margarita», «pide pizza vegetariana» y «pide pizza pepperoni». Cada cliente pide un solo tipo de pizza, así que $M$ , $V$ y $E$ son incompatibles dos a dos y su unión es el espacio muestral (forman un sistema completo de sucesos). Los datos son

P(M) = 0{,}40, \qquad P(V) = 0{,}25.

1.1 Probabilidad de que un cliente pida pepperoni

Como $M$ , $V$ y $E$ forman un sistema completo de sucesos, sus probabilidades suman 1:

P(E) = 1 - P(M) - P(V) = 1 - 0{,}40 - 0{,}25 = 0{,}35.

Respuesta

La probabilidad de que un cliente elegido al azar haya pedido pizza pepperoni es

P(E) = 0{,}35

1.2 Probabilidad de que dos clientes pidan tipos distintos

Elegimos dos clientes al azar y suponemos, como es habitual, que sus elecciones son independientes y que cada uno sigue las probabilidades anteriores (la clientela es muy numerosa y solo conocemos porcentajes, así que elegir un cliente no cambia apreciablemente las proporciones para el segundo). Sea $D$ el suceso «los dos clientes han pedido tipos de pizza distintos». Su contrario es $\overline{D}$ = «los dos han pedido el mismo tipo», que es la unión de tres sucesos incompatibles: los dos piden margarita, los dos vegetariana o los dos pepperoni. Por la independencia,

P(\overline{D}) = P(M)^2 + P(V)^2 + P(E)^2 = 0{,}40^2 + 0{,}25^2 + 0{,}35^2 = 0{,}16 + 0{,}0625 + 0{,}1225 = 0{,}345.

Por tanto,

P(D) = 1 - P(\overline{D}) = 1 - 0{,}345 = 0{,}655.

Respuesta

La probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido tipos de pizza distintos es

P(D) = 0{,}655

1.3 Probabilidad de que exactamente 4 de los 10 pidan margarita

Sea $X$ = «número de clientes, de los 10 del grupo, que piden pizza margarita». Cada cliente es una prueba con dos resultados posibles (pide margarita, con probabilidad $p = 0{,}4$ , o no la pide, con probabilidad $q = 1 - p = 0{,}6$ ). Suponiendo, como en 1.2, que los clientes eligen de forma independiente y que cada uno pide margarita con la misma probabilidad $p = 0{,}4$ , las 10 pruebas son independientes y $X$ sigue una distribución binomial (reconocer $n = 10$ y $p = 0{,}4$ es la clave del apartado):

X \sim B(10;\ 0{,}4), \qquad P(X = k) = \binom{10}{k}\, 0{,}4^{k}\, 0{,}6^{10-k}, \quad k = 0, 1, \dots, 10.

Para $k = 4$ :

P(X = 4) = \binom{10}{4}\, 0{,}4^{4}\, 0{,}6^{6} = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 = 0{,}250822656 \approx 0{,}2508,

redondeado a cuatro decimales. Aquí $\binom{10}{4} = \dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 210$ , $0{,}4^4 = 0{,}0256$ y $0{,}6^6 = 0{,}046656$ ; con la calculadora, la tecla nCr da el número combinatorio.

Respuesta

X \sim B(10;\ 0{,}4)

y la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizza margarita es

P(X=4) \approx 0{,}2508

1.4 Probabilidad de que al menos uno pida margarita

Con la misma variable $X \sim B(10;\ 0{,}4)$ , nos piden $P(X \geq 1)$ . Lo más cómodo es pasar al suceso contrario, «ninguno de los 10 pide margarita»:

P(X = 0) = \binom{10}{0}\, 0{,}4^{0}\, 0{,}6^{10} = 0{,}6^{10} = 0{,}0060466176,

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}0060466176 = 0{,}9939533824 \approx 0{,}994.

Respuesta

La probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes pida pizza margarita es

P(X\geq 1) = 1 - 0{,}6^{10} \approx 0{,}994

Criterios de corrección oficiales

Los criterios oficiales solo publican la puntuación de cada apartado y los resultados finales. Reparto: 1.1, 0,25 puntos; 1.2, 0,75 puntos; 1.3, 0,75 puntos; 1.4, 0,75 puntos.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente

Pregunta 2.1

Matrices Determinantes2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de álgebra. Matriz con parámetro: idempotente e inversa.

Enunciado

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real $\alpha$ y es:

A=\begin{bmatrix} 1 & \alpha & 0\\ 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{bmatrix}.

2.1.1 (1,25 puntos) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^2=A$ . Obtener los valores $\alpha$ que permitan funcionar a este proceso.

2.1.2 (1,25 puntos) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$ . Obtener los valores de $\alpha$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $\alpha$ .

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

2.1.1) Valores de $\alpha$ para los que $A$ es idempotente

Calculamos $A^2$ multiplicando fila por columna:

A^2=\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0\\ 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0\\ 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & \alpha+\alpha^2 & 0\\ 0 & \alpha^2 & 0\\ 0 & 0 & (1-\alpha)^2 \end{pmatrix}.

Dos matrices son iguales si lo son elemento a elemento. Los elementos que ya coinciden ( $1$ y los ceros) no imponen nada; igualando el resto, $A^2=A$ equivale a que se cumplan a la vez:

\begin{cases} \alpha+\alpha^2=\alpha &\Longleftrightarrow\ \alpha^2=0 &\Longleftrightarrow\ \alpha=0,\\[2pt] \alpha^2=\alpha &\Longleftrightarrow\ \alpha(\alpha-1)=0 &\Longleftrightarrow\ \alpha=0 \ \text{o}\ \alpha=1,\\[2pt] (1-\alpha)^2=1-\alpha &\Longleftrightarrow\ (1-\alpha)\big((1-\alpha)-1\big)=-\alpha\,(1-\alpha)=0 &\Longleftrightarrow\ \alpha=1 \ \text{o}\ \alpha=0. \end{cases}

Como las tres condiciones deben cumplirse a la vez, basta resolver la primera, que solo admite $\alpha=0$ , y comprobar que ese valor también cumple las otras dos. Por tanto, el único valor es $\alpha=0$ .

Comprobación. Para $\alpha=0$ :

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=A.

Respuesta

A^2=A

únicamente para

\alpha=0

. El proceso solo funciona para

\alpha=0

2.1.2) Existencia y cálculo de la inversa

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Como $A$ es triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal:

|A|=\begin{vmatrix} 1 & \alpha & 0\\ 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{vmatrix}=1\cdot\alpha\cdot(1-\alpha)=\alpha(1-\alpha).

|A|=0 \iff \alpha=0 \ \text{o}\ \alpha=1.

Si $\alpha=0$ o $\alpha=1$ , $|A|=0$ y $A$ no tiene inversa.
Si $\alpha\neq 0$ y $\alpha\neq 1$ , $|A|\neq 0$ y existe $A^{-1}$ .

Para $\alpha\neq 0,1$ la calculamos con la fórmula $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj}A)^t$ . Los adjuntos $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ son:

\begin{aligned} A_{11}&=+\begin{vmatrix} \alpha & 0\\ 0 & 1-\alpha\end{vmatrix}=\alpha(1-\alpha), & A_{12}&=-\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1-\alpha\end{vmatrix}=0, & A_{13}&=+\begin{vmatrix} 0 & \alpha\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0,\\[4pt] A_{21}&=-\begin{vmatrix} \alpha & 0\\ 0 & 1-\alpha\end{vmatrix}=-\alpha(1-\alpha), & A_{22}&=+\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1-\alpha\end{vmatrix}=1-\alpha, & A_{23}&=-\begin{vmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0,\\[4pt] A_{31}&=+\begin{vmatrix} \alpha & 0\\ \alpha & 0\end{vmatrix}=0, & A_{32}&=-\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0, & A_{33}&=+\begin{vmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & \alpha\end{vmatrix}=\alpha. \end{aligned}

Entonces

\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & 0 & 0\\ -\alpha(1-\alpha) & 1-\alpha & 0\\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix},\qquad (\operatorname{Adj}A)^t=\begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & -\alpha(1-\alpha) & 0\\ 0 & 1-\alpha & 0\\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix},

y dividiendo entre $|A|=\alpha(1-\alpha)$ :

A^{-1}=\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & -\alpha(1-\alpha) & 0\\ 0 & 1-\alpha & 0\\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[2pt] 0 & \dfrac{1}{\alpha} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix}.

Comprobación.

A\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0\\ 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & \frac{1}{\alpha} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1+1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I.

Como $A$ es cuadrada, basta comprobar un producto. También sirve un caso numérico: para $\alpha=2$ la fórmula da $A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ , que coincide con la inversa de la matriz numérica. Así se detecta en el examen un error de signo en los adjuntos.

Respuesta

A

es invertible si y solo si

\alpha\neq 0

\alpha\neq 1

(pues

|A|=\alpha(1-\alpha)

). El segundo proceso solo se puede llevar a cabo para esos valores de

\alpha

, y entonces

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & \frac{1}{\alpha} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix}

Compruébalo:Comprueba A² = A para α = 0 Inversa por la adjunta para α = 2 (comprobación)

Criterios de corrección oficiales

Los criterios oficiales solo publican la puntuación de cada apartado y los resultados finales. Reparto: 2.1.1, 1,25 puntos; 2.1.2, 1,25 puntos.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente

Pregunta 2.2

Sistemas de ecuaciones Determinantes2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de álgebra. Discusión y resolución de un sistema con parámetro.

Enunciado

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 3x-2y-3z=0\\ 2x+ay-5z=-3,\\ x+y+2z=3 \end{cases}

donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .

2.2.2 (0,75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.

2.2.3 (0,75 puntos) Calcular la solución del sistema para $a=0$ .

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ :

A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -3\\ 2 & a & -5\\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & -3 & 0\\ 2 & a & -5 & -3\\ 1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)

2.2.1) Discusión del sistema

Usamos el teorema de Rouché-Frobenius. Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila:

|A|=3\begin{vmatrix} a & -5\\ 1 & 2\end{vmatrix}-(-2)\begin{vmatrix} 2 & -5\\ 1 & 2\end{vmatrix}+(-3)\begin{vmatrix} 2 & a\\ 1 & 1\end{vmatrix}=3(2a+5)+2(4+5)-3(2-a)

|A|=6a+15+18-6+3a=9a+27=9(a+3).

(También se puede calcular con la regla de Sarrus.)

Por tanto, $|A|=0 \iff a=-3$ .

Caso $a\neq -3$ . Como $|A|\neq 0$ , $\operatorname{rg}(A)=3$ . Como $A$ es una submatriz de $A^*$ y $A^*$ tiene solo 3 filas, $3=\operatorname{rg}(A)\le\operatorname{rg}(A^*)\le 3$ , luego $\operatorname{rg}(A^*)=3$ . Como $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=$ número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

Caso $a=-3$ . Ahora $|A|=0$ , luego $\operatorname{rg}(A)<3$ . El menor formado por las filas 1.ª y 3.ª y las columnas 1.ª y 2.ª es

\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}=3+2=5\neq 0,

así que $\operatorname{rg}(A)=2$ . Para el rango de $A^*$ orlamos ese menor. Solo queda una fila por añadir (la 2.ª) y dos columnas (la 3.ª y la de términos independientes), así que hay solo dos orlados posibles. Con la 3.ª columna se obtiene $|A|=0$ ; con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 3 & -2 & 0\\ 2 & -3 & -3\\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}=3(-9+3)-(-2)(6+3)+0=-18+18=0.

Los dos menores de orden 3 que orlan al menor no nulo de orden 2 son nulos, luego $\operatorname{rg}(A^*)=2$ . Como $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$ , el sistema es compatible indeterminado (con $3-2=1$ parámetro).

Respuesta

a\neq -3

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3

y el sistema es compatible determinado. Si

a=-3

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3

y el sistema es compatible indeterminado. No hay ningún valor de

a

para el que sea incompatible.

2.2.2) Soluciones en el caso compatible indeterminado

El sistema es compatible indeterminado solo para $a=-3$ . Como el menor no nulo de orden 2 está en las filas 1.ª y 3.ª, nos quedamos con esas dos ecuaciones (la 2.ª es combinación lineal de ellas). Como el menor está en las columnas de $x$ e $y$ , estas son las incógnitas principales y $z$ pasa al segundo miembro como parámetro, $z=\lambda$ :

\begin{cases} 3x-2y=3\lambda\\ x+y=3-2\lambda\end{cases}

De la segunda, $y=3-2\lambda-x$ . Sustituyendo en la primera:

3x-2(3-2\lambda-x)=3\lambda \;\Rightarrow\; 5x-6+4\lambda=3\lambda \;\Rightarrow\; x=\frac{6-\lambda}{5}.

Entonces

y=3-2\lambda-\frac{6-\lambda}{5}=\frac{15-10\lambda-6+\lambda}{5}=\frac{9-9\lambda}{5}.

Comprobación en la 2.ª ecuación con $a=-3$ (las otras dos se cumplen por construcción): $2\cdot\frac{6-\lambda}{5}-3\cdot\frac{9-9\lambda}{5}-5\lambda=\frac{12-2\lambda-27+27\lambda-25\lambda}{5}=\frac{-15}{5}=-3$ . ✓

Respuesta

Para

a=-3

las soluciones son

x=\dfrac{6-\lambda}{5},\ y=\dfrac{9-9\lambda}{5},\ z=\lambda

, con

\lambda\in\mathbb{R}

; en forma vectorial,

(x,y,z)=\left(\frac65,\frac95,0\right)+\lambda\left(-\frac15,-\frac95,1\right)

2.2.3) Solución para $a=0$

Como $0\neq -3$ , el sistema es compatible determinado y $|A|=9(0+3)=27$ . El sistema queda

\begin{cases} 3x-2y-3z=0\\ 2x-5z=-3\\ x+y+2z=3\end{cases}

y lo resolvemos por la regla de Cramer:

x=\frac{\begin{vmatrix} 0 & -2 & -3\\ -3 & 0 & -5\\ 3 & 1 & 2\end{vmatrix}}{27}=\frac{27}{27}=1,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 0 & -3\\ 2 & -3 & -5\\ 1 & 3 & 2\end{vmatrix}}{27}=\frac{0}{27}=0,\qquad z=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -2 & 0\\ 2 & 0 & -3\\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}}{27}=\frac{27}{27}=1.

Los determinantes de los numeradores, desarrollados por la primera fila:

\Delta_x=0\cdot(0+5)-(-2)(-6+15)+(-3)(-3-0)=18+9=27,

\Delta_y=3(-6+15)-0+(-3)(6+3)=27-27=0,

\Delta_z=3(0+3)-(-2)(6+3)+0=9+18=27.

Comprobación: $3\cdot1-2\cdot0-3\cdot1=0$ ✓; $2\cdot1-5\cdot1=-3$ ✓; $1+0+2\cdot1=3$ ✓.

Respuesta

Para

a=0

la solución única es

x=1,\ y=0,\ z=1

Compruébalo:Discute el sistema para a = −3 Resuelve por Gauss el caso a = −3 Resuelve por Cramer el caso a = 0

Criterios de corrección oficiales

Los criterios oficiales solo publican la puntuación de cada apartado y los resultados finales. Reparto: 2.2.1, 1 punto; 2.2.2, 0,75 puntos; 2.2.3, 0,75 puntos.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente

Pregunta 3.1

Geometría en el espacio2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de geometría. Rectas, plano que las contiene y distancia.

Enunciado

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dada la recta $r\colon\begin{cases} x=1+2\lambda\\ y=\lambda\\ z=2-\lambda \end{cases}$ y la recta $s\colon\begin{cases} x=-1\\ x+2y+z=0 \end{cases}$ , calcular:

3.1.1 (1 punto) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.

3.1.2 (1 punto) La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

3.1.3 (0,5 puntos) La distancia del punto $P=(1,0,2)$ a dicho plano.

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

Antes de empezar conviene tener de cada recta un punto y un vector director.

Recta $r$ (ya está en paramétricas): punto $P_r=(1,0,2)$ y vector director $\vec u=(2,1,-1)$ .
Recta $s$ (en implícitas): la pasamos a paramétricas. De $x=-1$ , la segunda ecuación queda $-1+2y+z=0$ , es decir, $z=1-2y$ . Tomando $y=\mu$ :

s\colon\begin{cases} x=-1\\ y=\mu\\ z=1-2\mu \end{cases}\qquad P_s=(-1,0,1),\quad \vec v=(0,1,-2).

3.1.1) Punto de corte de las rectas

Los vectores $\vec u=(2,1,-1)$ y $\vec v=(0,1,-2)$ no son proporcionales (la primera componente de $\vec v$ es $0$ y la de $\vec u$ no), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

Para buscar el punto común sustituimos el punto genérico de $r$ , $(1+2\lambda,\ \lambda,\ 2-\lambda)$ , en las dos ecuaciones de $s$ :

x=-1:\quad 1+2\lambda=-1 \;\Longrightarrow\; \lambda=-1.

x+2y+z=0:\quad (1+2\lambda)+2\lambda+(2-\lambda)=0 \;\Longrightarrow\; 3\lambda+3=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=-1.

Las dos ecuaciones dan el mismo valor, $\lambda=-1$ , luego hay solución y las rectas se cortan. Sustituyendo $\lambda=-1$ en $r$ :

Q=(1+2(-1),\ -1,\ 2-(-1))=(-1,\,-1,\,3).

Comprobación: $Q$ cumple las ecuaciones de $s$ : $x=-1$ y $-1+2(-1)+3=0$ . ✓

Nota

Otra forma: el estudio de rangos. Con

\overrightarrow{P_rP_s}=(-2,0,-1)

\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2\\ -2 & 0 & -1\end{vmatrix}=-2+4+0-2-0-0=0,

luego

\operatorname{rg}(\vec u,\vec v,\overrightarrow{P_rP_s})=2

(no es 3 porque el determinante es nulo, y no es menor porque

\vec u

\vec v

ya son independientes). Como

\operatorname{rg}(\vec u,\vec v)=\operatorname{rg}(\vec u,\vec v,\overrightarrow{P_rP_s})=2

, las rectas son secantes (coplanarias y no paralelas). Este método es útil cuando solo se pide la posición relativa; aquí se pide además el punto, y sustituir

r

s

da las dos cosas a la vez. Si el determinante no fuera nulo, las rectas se cruzarían y no habría ningún plano que las contuviera a ambas.

Respuesta

Las rectas se cortan (para

\lambda=-1

r

) en el punto

Q=(-1,\,-1,\,3)

3.1.2) Plano que contiene a ambas rectas

Como las rectas se cortan, existe un único plano que las contiene. Pasa por $Q=(-1,-1,3)$ (o por cualquier punto de una de las rectas) y tiene como vectores directores $\vec u=(2,1,-1)$ y $\vec v=(0,1,-2)$ . Su ecuación es

\pi\colon\ \begin{vmatrix} x+1 & y+1 & z-3\\ 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2\end{vmatrix}=0.

Desarrollando por la primera fila:

(x+1)\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & -2\end{vmatrix}-(y+1)\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 0 & -2\end{vmatrix}+(z-3)\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 1\end{vmatrix}=0

-(x+1)+4(y+1)+2(z-3)=0 \;\Longrightarrow\; -x+4y+2z-3=0.

Es decir, un vector normal es $\vec n=\vec u\times\vec v=(-1,4,2)$ .

Comprobación: el plano contiene a $r$ , porque pasa por $P_r=(1,0,2)$ : $-1+0+4-3=0$ ✓, y $\vec n\cdot\vec u=-2+4-2=0$ ✓. Contiene a $s$ , porque pasa por $P_s=(-1,0,1)$ : $1+0+2-3=0$ ✓, y $\vec n\cdot\vec v=0+4-4=0$ ✓.

Respuesta

\pi\colon\ -x+4y+2z-3=0

(o, equivalentemente,

x-4y-2z+3=0

3.1.3) Distancia de $P=(1,0,2)$ al plano

Antes de calcular nada conviene fijarse en que $P=(1,0,2)=P_r$ es el punto de $r$ que corresponde a $\lambda=0$ . Como $r$ está contenida en $\pi$ , $P\in\pi$ y la distancia es $0$ .

Lo comprobamos con la fórmula de la distancia de un punto a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ :

d(P,\pi)=\frac{|A x_0+B y_0+C z_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|-1+4\cdot 0+2\cdot 2-3|}{\sqrt{(-1)^2+4^2+2^2}}=\frac{0}{\sqrt{21}}=0.

Respuesta

d(P,\pi)=0

: el punto

P

pertenece al plano (de hecho, está en la recta

r

Compruébalo:Punto de corte: sistema de las cuatro ecuaciones implícitas

Criterios de corrección oficiales

Los criterios oficiales solo publican la puntuación de cada apartado y los resultados finales. Reparto: 3.1.1, 1 punto; 3.1.2, 1 punto; 3.1.3, 0,5 puntos.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente

Pregunta 3.2

Geometría en el espacio2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de geometría. Plano perpendicular, distancia y simétrico de un punto.

Enunciado

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Se consideran el plano $\pi\colon 3x-y+2z=4$ y el punto $P=(-1,0,1)$ . Se pide:

3.2.1 (1 punto) La ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ y por $Q=(2,1,2)$ .

3.2.2 (0,5 puntos) La distancia del punto $Q$ al plano $\pi$ .

3.2.3 (1 punto) El punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$ .

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

3.2.1) Plano perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ y $Q$

Un vector normal de $\pi$ es $\vec n_\pi=(3,-1,2)$ . Si el plano buscado, $\sigma$ , es perpendicular a $\pi$ , sus vectores normales son perpendiculares ( $\vec n_\sigma\cdot\vec n_\pi=0$ ), así que $\vec n_\pi$ es paralelo a $\sigma$ : se puede usar como vector director de $\sigma$ . Además, como $P$ y $Q$ están en $\sigma$ , también lo es

\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-(-1),\,1-0,\,2-1)=(3,1,1).

Los vectores $(3,-1,2)$ y $(3,1,1)$ no son proporcionales, así que $\sigma$ queda determinado por el punto $P$ y estos dos vectores directores:

\sigma\colon\ \begin{vmatrix} x+1 & y & z-1\\ 3 & -1 & 2\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=0.

Desarrollando por la primera fila:

(x+1)\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}-y\begin{vmatrix}3&2\\3&1\end{vmatrix}+(z-1)\begin{vmatrix}3&-1\\3&1\end{vmatrix}=0.

Los menores valen $-1-2=-3$ , $3-6=-3$ y $3+3=6$ . Ojo con el signo menos delante del segundo: $-y\cdot(-3)=+3y$ . Queda

-3(x+1)+3y+6(z-1)=-3x-3+3y+6z-6=0,

es decir, $-3x+3y+6z-9=0$ . Dividiendo entre $-3$ :

\sigma\colon\ x-y-2z+3=0.

Comprobación. $P$ : $-1-0-2+3=0$ ✓. $Q$ : $2-1-4+3=0$ ✓. Perpendicularidad: con $\vec n_\sigma=(1,-1,-2)$ , $\vec n_\sigma\cdot\vec n_\pi=(1,-1,-2)\cdot(3,-1,2)=3+1-4=0$ ✓.

Respuesta

\sigma\colon\ x-y-2z+3=0

3.2.2) Distancia de $Q$ a $\pi$

Escribimos $\pi$ en la forma $3x-y+2z-4=0$ y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

d(Q,\pi)=\frac{|3\cdot 2-1+2\cdot 2-4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{|6-1+4-4|}{\sqrt{14}}=\frac{5}{\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{14}\approx 1{,}3363\ \text{u}.

Respuesta

d(Q,\pi)=\dfrac{5}{\sqrt{14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}{14}\approx 1{,}3363

3.2.3) Punto simétrico de $P$ respecto de $\pi$

Primero comprobamos que $P$ no está en $\pi$ : $3(-1)-0+2\cdot 1=-1\neq 4$ .

Paso 1: recta perpendicular a $\pi$ por $P$ . Su vector director es $\vec n_\pi=(3,-1,2)$ :

r\colon\ \begin{cases} x=-1+3\lambda\\ y=-\lambda\\ z=1+2\lambda\end{cases}\qquad \lambda\in\mathbb R.

Paso 2: proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre $\pi$ ( $M=r\cap\pi$ ). Sustituyendo en la ecuación de $\pi$ :

3(-1+3\lambda)-(-\lambda)+2(1+2\lambda)=4\ \Longrightarrow\ -1+14\lambda=4\ \Longrightarrow\ \lambda=\frac{5}{14}.

M=\left(-1+\frac{15}{14},\,-\frac{5}{14},\,1+\frac{10}{14}\right)=\left(\frac{1}{14},\,-\frac{5}{14},\,\frac{24}{14}\right)=\left(\frac{1}{14},\,-\frac{5}{14},\,\frac{12}{7}\right).

Paso 3: $M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P'$ . Como $M=\dfrac{P+P'}{2}$ , se tiene $P'=2M-P$ :

P'=\left(\frac{2}{14}+1,\,-\frac{10}{14}-0,\,\frac{48}{14}-1\right)=\left(\frac{8}{7},\,-\frac{5}{7},\,\frac{17}{7}\right).

Comprobación. $\overrightarrow{PP'}=\left(\tfrac{15}{7},-\tfrac{5}{7},\tfrac{10}{7}\right)=\tfrac{5}{7}(3,-1,2)$ es perpendicular a $\pi$ . Además, la expresión $3x-y+2z-4$ vale $3\cdot\tfrac87+\tfrac57+2\cdot\tfrac{17}{7}-4=\tfrac{24+5+34-28}{7}=5$ en $P'$ y $-3-0+2-4=-5$ en $P$ : signos opuestos (están a distinto lado de $\pi$ ) y mismo valor absoluto, es decir, $d(P,\pi)=d(P',\pi)=5/\sqrt{14}$ ✓.

Respuesta

P'=\left(\dfrac{8}{7},\,-\dfrac{5}{7},\,\dfrac{17}{7}\right)

Criterios de corrección oficiales

Los criterios oficiales solo publican la puntuación de cada apartado y los resultados finales. Reparto: 3.2.1, 1 punto; 3.2.2, 0,5 puntos; 3.2.3, 1 punto.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente

Pregunta 4.1

Optimización Derivadas y aplicaciones2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de análisis. Optimización con contexto real.

Enunciado

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de $80\ \text{cm}^3$ de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por $\text{cm}^2$ . La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro.

Obtener:

4.1.1 (0,75 puntos) La función $P(x)$ que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base $x$ .

4.1.2 (1,25 puntos) Las dimensiones de la caja para que la función $P(x)$ tenga el menor valor posible.

4.1.3 (0,5 puntos) El precio del material en el caso anterior.

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

4.1.1) La función precio $P(x)$

Llamamos $x$ al lado de la base cuadrada e $y$ a la altura de la caja, ambos en cm, con $x>0$ e $y>0$ .

Relación entre $x$ e $y$ . El volumen es $80\ \text{cm}^3$ :

V = x^2\,y = 80 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{80}{x^2}.

Precio de cada parte. El material lateral cuesta $1$ céntimo/cm²; el de la base y la tapa es un $25\,\%$ más caro, es decir, cuesta el $100\,\% + 25\,\% = 125\,\%$ del precio lateral: $1\cdot 1{,}25 = \dfrac{5}{4}$ céntimos/cm² (no $0{,}25$ céntimos).

Base y tapa: dos cuadrados de área $x^2$ cada uno, en total $2x^2$ cm², que cuestan $\dfrac{5}{4}\cdot 2x^2 = \dfrac{5}{2}x^2$ céntimos.
Paredes laterales: cuatro rectángulos de $x$ por $y$ , en total $4xy$ cm², que cuestan $1\cdot 4xy = 4xy$ céntimos.

Sumando y sustituyendo $y = \dfrac{80}{x^2}$ :

P = \frac{5}{2}x^2 + 4x\cdot\frac{80}{x^2} = \frac{5}{2}x^2 + \frac{320}{x}.

Respuesta

P(x) = \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{320}{x}

céntimos, con

x>0

(lado de la base en cm).

4.1.2) Dimensiones de coste mínimo

Buscamos el mínimo absoluto de $P$ en su dominio $(0,+\infty)$ , donde es derivable.

Puntos críticos.

P'(x) = 5x - \frac{320}{x^2} = \frac{5x^3 - 320}{x^2}.

P'(x) = 0 \iff 5x^3 = 320 \iff x^3 = 64 \iff x = 4.

Es un mínimo absoluto. Como $x^2>0$ , el signo de $P'(x)$ es el de $5x^3-320 = 5(x-4)(x^2+4x+16)$ , que coincide con el de $x-4$ porque $x^2+4x+16=(x+2)^2+12>0$ :

si $0<x<4$ , entonces $P'(x)<0$ y $P$ decrece;
si $x>4$ , entonces $P'(x)>0$ y $P$ crece.

Por tanto, $P$ alcanza en $x=4$ su mínimo absoluto en $(0,+\infty)$ . (La segunda derivada, $P''(x)=5+\dfrac{640}{x^3}$ con $P''(4)=15>0$ , solo confirma que es un mínimo local; que sea absoluto lo da el estudio del signo anterior.)

Altura.

y = \frac{80}{4^2} = \frac{80}{16} = 5\ \text{cm}.

Comprobación: $4^2\cdot 5 = 80\ \text{cm}^3$ .

Cargando la gráfica…

Gráfica de P(x) = 5x²/2 + 320/x para x > 0: decrece hasta x = 4, donde alcanza su mínimo P(4) = 120, y después crece. Tiende a +∞ cuando x → 0⁺ (asíntota vertical x = 0) y cuando x → +∞. Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

La caja más barata tiene base cuadrada de lado

x = 4

cm y altura

y = 5

cm.

4.1.3) Precio mínimo

P(4) = \frac{5}{2}\cdot 16 + \frac{320}{4} = 40 + 80 = 120\ \text{céntimos}.

(Base y tapa: $2\cdot 16 = 32$ cm² a $1{,}25$ céntimos, $40$ céntimos; laterales: $4\cdot 4\cdot 5 = 80$ cm² a $1$ céntimo, $80$ céntimos.)

Respuesta

El precio mínimo del material es

P(4) = 120

céntimos, es decir,

1{,}20

€.

Compruébalo:Deriva P(x)Resuelve P'(x) = 0

Criterios de corrección oficiales

Los criterios oficiales solo publican la puntuación de cada apartado y los resultados finales. Reparto: 4.1.1, 0,75 puntos; 4.1.2, 1,25 puntos; 4.1.3, 0,5 puntos.

Verificado con cálculo simbólico y arbitraje independiente

Pregunta 4.2

Integrales Estudio de funciones2,5 puntos

Válido para el modelo 2026Corresponde a la pregunta de análisis. Función con valor absoluto y área.

Enunciado

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Dada la función real de variable real

f(x)=x\,|x-2|.

Se pide:

4.2.1 (1 punto) Representar la región comprendida entre la gráfica de la función $f$ , el eje de abscisas (eje OX) y las rectas $x=-1$ y $x=5$ .

4.2.2 (1,5 puntos) Calcular el área de la región anterior.

Inténtalo tú primeroVer la soluciónOcultar la solución

4.2.1 Representación de la región

Expresión a trozos. Por la definición de valor absoluto,

|x-2|=\begin{cases} -(x-2)=2-x & \text{si } x<2\\ x-2 & \text{si } x\ge 2\end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad f(x)=\begin{cases} 2x-x^2 & \text{si } x<2\\ x^2-2x & \text{si } x\ge 2\end{cases}

$f$ es continua en $\mathbb{R}$ (producto de funciones continuas) y cada trozo es un arco de parábola.

Cortes con el eje OX. $f(x)=0 \iff x=0$ o $|x-2|=0$ , es decir, $x=0$ y $x=2$ . Los dos están dentro de $[-1,5]$ .

Signo de $f$ . Como $|x-2|\ge 0$ , el signo de $f(x)$ es el de $x$ :

en $[-1,0)$ , $f(x)<0$ (la región queda por debajo del eje OX);
en $(0,2)\cup(2,5]$ , $f(x)>0$ (la región queda por encima del eje OX).

Trozo $x<2$ : $y=2x-x^2$ . Parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $x=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1$ , $f(1)=1$ : punto $(1,1)$ , máximo relativo de $f$ .

Trozo $x\ge 2$ : $y=x^2-2x$ . Parábola con las ramas hacia arriba; su vértice ( $x=1$ ) cae fuera de este trozo, así que en $[2,5]$ es creciente.

En $x=2$ la gráfica tiene un pico (punto anguloso). No lo pide el enunciado, pero ayuda a dibujarlo: las derivadas laterales son $f'(2^-)=2-2\cdot 2=-2$ y $f'(2^+)=2\cdot 2-2=2$ .

Tabla de valores.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$-3$	$0$	$1$	$0$	$3$	$8$	$15$

Cargando la gráfica…

Gráfica de f(x) = x|x − 2| entre x = −1 y x = 5. La región sombreada está por debajo del eje OX entre −1 y 0, y por encima entre 0 y 2 (un arco con máximo en (1, 1)) y entre 2 y 5 (un arco creciente que llega a (5, 15)). Puedes moverte por la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.

Ábrelo en la graficadora

Respuesta

$f(x)=2x-x^2$ si $x<2$ y $f(x)=x^2-2x$ si $x\ge 2$ . La región está limitada por la gráfica, el eje OX y las rectas verticales $x=-1$ y $x=5$ , y consta de tres recintos:

bajo el eje OX en $[-1,0]$ : lo limitan la gráfica, desde $(-1,-3)$ hasta el origen, el segmento vertical de $x=-1$ (de $(-1,-3)$ a $(-1,0)$ ) y el eje OX;
sobre el eje en $[0,2]$ : lo limitan el arco de parábola con máximo en $(1,1)$ y el eje OX;
sobre el eje en $[2,5]$ : lo limitan el arco creciente desde $(2,0)$ hasta $(5,15)$ , el segmento vertical de $x=5$ (de $(5,0)$ a $(5,15)$ ) y el eje OX.

En el dibujo deben verse los ejes graduados (la escala vertical, de $-3$ a $15$ , conviene elegirla más pequeña que la horizontal), los puntos $(-1,-3)$ , $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,0)$ y $(5,15)$ , el pico en $x=2$ y los tres recintos sombreados.

4.2.2 Área de la región

En $x=0$ , $f$ cambia de signo. En $x=2$ , $f$ toca el eje sin cambiar de signo, pero cambia de expresión, así que también hay que partir ahí. Dividimos el intervalo $[-1,5]$ en $[-1,0]$ , $[0,2]$ y $[2,5]$ , e integramos el valor absoluto en cada trozo:

A=\left|\int_{-1}^{0}(2x-x^2)\,dx\right|+\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx+\int_{2}^{5}(x^2-2x)\,dx .

Primitivas: $\displaystyle\int(2x-x^2)\,dx=x^2-\frac{x^3}{3}+C$ y $\displaystyle\int(x^2-2x)\,dx=\frac{x^3}{3}-x^2+C$ .

Por la regla de Barrow:

\int_{-1}^{0}(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}=0-\left(1+\frac13\right)=-\frac43 \;\Rightarrow\; A_1=\frac43\ \text{u}^2

\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}=\left(4-\frac83\right)-0=\frac43 \;\Rightarrow\; A_2=\frac43\ \text{u}^2

\int_{2}^{5}(x^2-2x)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{2}^{5}=\left(\frac{125}{3}-25\right)-\left(\frac83-4\right)=\frac{50}{3}-\left(-\frac43\right)=\frac{54}{3}=18 \;\Rightarrow\; A_3=18\ \text{u}^2

Sumando:

A=A_1+A_2+A_3=\frac43+\frac43+18=\frac{62}{3}\approx 20{,}67\ \text{u}^2 .

Respuesta

A=\dfrac43+\dfrac43+18=\dfrac{62}{3}\approx 20{,}67\ \text{u}^2

Compruébalo:Área entre 2x − x² y el eje OX en [−1, 2]Área entre x² − 2x y el eje OX en [2, 5]

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Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana 2025 junio resuelto

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Ejercicios resueltos

Pregunta 1

1.1 Probabilidad de que un cliente pida pepperoni

1.2 Probabilidad de que dos clientes pidan tipos distintos

1.3 Probabilidad de que exactamente 4 de los 10 pidan margarita

1.4 Probabilidad de que al menos uno pida margarita

Pregunta 2.1

2.1.1) Valores de α\alphaα para los que AAA es idempotente

2.1.2) Existencia y cálculo de la inversa

Pregunta 2.2

2.2.1) Discusión del sistema

2.2.2) Soluciones en el caso compatible indeterminado

2.2.3) Solución para a=0a=0a=0

Pregunta 3.1

3.1.1) Punto de corte de las rectas

3.1.2) Plano que contiene a ambas rectas

3.1.3) Distancia de P=(1,0,2)P=(1,0,2)P=(1,0,2) al plano

Pregunta 3.2

3.2.1) Plano perpendicular a π\piπ que pasa por PPP y QQQ

3.2.2) Distancia de QQQ a π\piπ

3.2.3) Punto simétrico de PPP respecto de π\piπ

Pregunta 4.1

4.1.1) La función precio P(x)P(x)P(x)

4.1.2) Dimensiones de coste mínimo

4.1.3) Precio mínimo

Pregunta 4.2

4.2.1 Representación de la región

4.2.2 Área de la región

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2.1.1) Valores de $\alpha$ para los que $A$ es idempotente

2.2.3) Solución para $a=0$

3.1.3) Distancia de $P=(1,0,2)$ al plano

3.2.1) Plano perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ y $Q$

3.2.2) Distancia de $Q$ a $\pi$

3.2.3) Punto simétrico de $P$ respecto de $\pi$

4.1.1) La función precio $P(x)$